题目内容
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0
（Ⅰ）求公差d的取值范围；
（Ⅱ）指出S1，S2，…Sn中哪一个最大？说明理由；
（Ⅲ）指出
，
，…
中哪一个最大？说明理由．
（Ⅰ）求公差d的取值范围；
（Ⅱ）指出S1，S2，…Sn中哪一个最大？说明理由；
（Ⅲ）指出
| S1 |
| a1 |
| S2 |
| a2 |
| Sn |
| an |
考点：等差数列的前n项和,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由S12＞0，S13＜0，利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②，然后利用等差数列的通项公式化简a3得到首项与公差的关系式，解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组，求出不等式组的解集即可得到d的范围；
（2）由已知条件推导出Sn=
[n-
(5-
)]2-
[（5-
）]2，从而得到[n-
（5-
）]2最小时，Sn最大，由此能求出S1，S2，…Sn中，S6最大．
（3）要求
，
，…
中最大的一项，必须先搞清楚那一项最大，由题意可知，数列的首项大于0，公差小于0，那么
中最大的一项应该为Sn最大，而an为正的最小的那一项，由此能求出结果．
（2）由已知条件推导出Sn=
| d |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| d |
| d |
| 2 |
| 24 |
| d |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| d |
（3）要求
| S1 |
| a1 |
| S2 |
| a2 |
| Sn |
| an |
| Sn |
| an |
解答：
解：（1）依题意，有S12=12a1+
•d＞0，
S13=13a1+
•d＜0，
即
，
由a3=12，得a1=12-2d，③，
将③式分别代①、②式，得
，
解得∴-
＜d＜-3．
（2）Sn=na1+
d
=n（12-2d）+
n（n-1）d
=
[n-
(5-
)]2-
[（5-
）]2，
∵d＜0，∴[n-
（5-
）]2最小时，Sn最大，
当-
＜d＜-3时，6＜
(5-
)＜6.5，
∵正整数n=6时，[n-
（5-
）]2最小，
∴S1，S2，…Sn中，S6最大．
（3）由题意可知，数列的首项a1＞0，公差d＜0，
∴
中最大的一项应该为Sn最大，而an为正的最小的那一项，
∵a3=12，S12＞0，S13＜0
∴a6+a7＞0，a7＜0，∴d＜0，a1＞0，∴{an}是一个递减数列，
由（2）知当n=6时，Sn最大，an是{an}中最小的正数项，
∴
是
，
，…
中最大的一项．
| 12×11 |
| 2 |
S13=13a1+
| 13×12 |
| 2 |
即
|
由a3=12，得a1=12-2d，③，
将③式分别代①、②式，得
|
解得∴-
| 24 |
| 7 |
（2）Sn=na1+
| n(n-1) |
| 2 |
=n（12-2d）+
| 1 |
| 2 |
=
| d |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| d |
| d |
| 2 |
| 24 |
| d |
∵d＜0，∴[n-
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| d |
当-
| 24 |
| 7 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| d |
∵正整数n=6时，[n-
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| d |
∴S1，S2，…Sn中，S6最大．
（3）由题意可知，数列的首项a1＞0，公差d＜0，
∴
| Sn |
| an |
∵a3=12，S12＞0，S13＜0
∴a6+a7＞0，a7＜0，∴d＜0，a1＞0，∴{an}是一个递减数列，
由（2）知当n=6时，Sn最大，an是{an}中最小的正数项，
∴
| S6 |
| a6 |
| S1 |
| a1 |
| S2 |
| a2 |
| Sn |
| an |
点评：本题考查等差数列的公差的取值范围的求法，考查数列的前n项和中最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
