Question

18．已知过抛物线y²=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）求F点坐标；
（Ⅱ）试问在x轴上是否存在一点T（不与F重合），使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若P是抛物线上异于A，B的任意一点，l₁是抛物线的准线，直线PA、PB分别交l₁于点M、N，求证：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线方程知F（1，0）；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，将抛物线C的方程y²=4x与直线l的方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理求得k_AT+k_BT，设点T（a，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韦达定理，即可求得a；
（Ⅲ）求出M，N点横坐标，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）抛物线方程知F（1，0）；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程为x=my+1（m≠0），
代入y²=4x得y²-4my-4=0，△=16m²+16＞0恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=4m}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$
假设存在T（a，0）满足题意，则k_AT+k_BT=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}=\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（1-a）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{（x}_{1}-a）（{x}_{2}-a）}$=0
∴-8m+4m（1-a）=0，
∴a=-1，∴存在T（-1，0）；
（Ⅲ）设P（x₀，y₀），则直线PA的方程为：y-y₁=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}（x-{x}_{1}）$
当x=-1时，y=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，即M点纵坐标为y_M=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，
同理可得N点纵坐标为y_N=$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$．
∴y_My_N⁼$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$×$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{0}}•\frac{{y}_{2}{y}_{0}+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{0}}={y}_{1}{y}_{2}=-4$
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$═y_My_N+（-1）•（-1）=-3为定值

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，属于中档题．