题目内容
3．设数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1．（1）证明：数列{an}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）求数列{n•（an+1）}的前n项和Tn．
分析 （1）a1=1，an+1=2an+1．变形为an+1+1=2（an+1）．即可证明．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
解答 （1）证明：a1=1，an+1=2an+1．
可得：an+1+1=2（an+1）．
∴数列{an+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴an+1=2n，
可得an=2n-1．
（2）解：n•（an+1）=n•2n．
数列{n•（an+1）}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n，
∴2Tn=22+2×23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
∴-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2，
故Tn=（n-1）•2n+1+2．
点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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