Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+b，（a≠0）．
（1）若a＞0，求f（x）的单凋递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的值域是[3，4]，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象和性质将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，对a的正负进行讨论，求出f（x）的取值最大和最小值，即可求a、b的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+b，（a≠0）．
∵a＞0，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$可得kπ$-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ$+\frac{π}{8}$，（k∈Z）
∴f（x）的单凋递增区间为[kπ$-\frac{3π}{8}$，kπ$+\frac{π}{8}$]，（k∈Z）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
①若a＞0时，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{2}a+a+b$，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，函数f（x）取得最小值为b，
由题意可得：b=3，$\sqrt{2}a+a+b$=4，解得a=$\sqrt{2}-1$．
∴a、b的值分别为：$\sqrt{2}-1$，3．
②若a＜0时，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为$\sqrt{2}a+a+b$，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$时，函数f（x）取得最大值为b，
由题意可得：b=4，$\sqrt{2}a+a+b$=3，解得a=.$1-\sqrt{2}$
∴a、b的值分别为：1$-\sqrt{2}$，4．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．