Question

如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE．
（Ⅰ）求证：BC∥平面DAE；
（Ⅱ）求四棱锥D-AEFB的体积；
（Ⅲ）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）因为CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE，满足面面平行的判定定理，从而面CBF∥面DAE，而BC?面CBF，根据面面平行的性质定理可知BC∥平面DAE；
（II）取AE的中点H，连接DH，先证DH⊥面AEFB，从而得到DH为四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求出体积即可；
（III）以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系，根据

CF

=

1

2

DE

，求出点C的坐标，而

BA

是平面ADE的一个法向量，然后再求出平面BCD的一个法向，最后利用公式求解，即可求出面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

解答： （I）证明：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，
∴CF∥DE，FB∥AE
又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE
∴面CBF∥面DAE…（2分）
又BC?面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）
（II）解：取AE的中点H，连接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH?平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴DH⊥AE，DH=

3

，
又AE∩EF=E
∴DH⊥面AEFB…（5分）
所以四棱锥D-AEFB的体积V=

1

3

×

3

×2×2=

4 3

3

…（6分）
（III）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则A（-1，0，0），D（0，0，

3

），B（-1，-2，0），E（1，0，0），F（1，-2，0）
因为

CF

=

1

2

DE

，所以C（

1

2

，-2，

3

2

）…（8分）
易知

BA

是平面ADE的一个法向量，

BA

=

n1

=（0，2，0）…（9分）
设平面BCD的一个法向量为

n2

=（x，y，z）
由

3 2 x+ 3 2 z=0 x+2y+ 3 z=0

令x=2，则y=2，z=-2

3

，∴

n2

=（2，2，-2

3

），…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

5

5

所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为

5

5

…（12分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及四棱锥体积的计算和利用空间向量度量二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．