Question

有以下命题：
①过空间一定点P与两异面直线a，b都相交的直线有且只有1条；
②平面α外的直线l与平面α内的无数条直线平行，则l∥α；
③异面直线a，b成角为θ，过空间一定点P作直线l与a，b成角都为

π

3

的直线有4条，则θ的取值范围为（

π

3

，

π

2

]；
④空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M，N分别是BD，AC的中点，若异面直线AB与CD所成角为60°，则MN=4．
其中正确命题有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：本题①根据空间两条直线的位置关系，判断命题的真假，得到本题结论；②根据空间直线与平面的位置关系，判断命题的真假，得到本题结论；③根据空间三条直线的位置关系，判断命题的真假，得到本题结论；④根据异面直线所在的角的概念，构造三角形，计算得到MN的长，从而判断命题的真假，得到本题结论．

解答： 解：①过空间一定点P与两异面直线a，可以得到一个平面α，
当直线b∥平面α时，过点P与直线a，b都相交的直线不存在，
故命题①是错误的；
②由线面平行的判定，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行．
平面α外的直线l与平面α内的无数条直线平行，显然有l∥α，、
故命题②正确；
③∵异面直线a，b成角为θ，过空间一定点P作直线l与a，b成角都为

π

3

的直线有4条，
∴过空间一定点P作直线a′∥a，b′∥b．
则直线a′与b′相交形成4个角，大小分别为θ，π-θ，θ，π-θ．
∵过空间一定点P作直线l与a，b成角都为

π

3

的直线有4条，
∴

θ＜ 2π 3 π-θ＜ 2π 3

，
∴

π

3

＜θ＜

2π

3

，
又∵0＜θ≤

π

2

∴θ的取值范围为（

π

3

，

π

2

]；
故命题③正确；
④空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M，N分别是BD，AC的中点，若异面直线AB与CD所成角为60°，
取BC中点P，连结PM、PN，
∴PM∥AB，PN∥BC，
PM=

1

2

BC=4，PN=

1

2

BC=4，
∵若异面直线AB与CD所成角为60°，
∴∠MPN=60°或∠MPN=120°，
∴MN=4或MN=4

3

．
故命题④不正确．
综上，正确的命题有②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查了命题真假的判断，还考查了空间直线与直线的位置关系、空间直线 与平面的位置关系，本题难度适中，属于中档题．