Question

已知圆C₁是经过点A（0，2）和B（2，-2）的所有圆中周长最小的圆，
（1）求圆C₁的方程；
（2）若圆C₁与圆C₂：x²+y²-6x-2y+5=0相交于点C、D，求公共弦长|CD|．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）当AB为圆C₁的直径时，周长最小，求得圆心C₁的坐标和半径的值，可得圆C₁的方程．
（2）把圆C₁的方程和圆C₂的方程相减，可得公共弦方程，求得圆C₁到公共弦的距离d，再由弦长公式求得弦长|AB|的值．

解答： 解：（1）当AB为圆C₁的直径时，周长最小，则圆心C₁（1，0），
半径r=

(1-0)2+(0-2)2

=

5

，∴圆C₁的方程为：（x-1）²+y²=5．
（2）把圆C₁的方程和圆C₂的方程相减，可得公共弦方程为：4x+2y-9=0，
∴圆C₁到公共弦的距离为d=

|4-9|

20

=

5

2

，
则由弦长公式可得

|AB|

2

=

( 5 )2-( 5 2 )2

=

15

2

，所以|AB|=

15

．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．