Question

不等式组

x+y≤4 x-y≤2 x≥0，  y≥0

表示的平面区域的面积为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：先标出已知不等式组表示的平面区域，根据围成此区域的多边形特征探求其面积．

解答： 解：如右图所示，在同一坐标系中分别作出直线l₁：x+y=4，l₂：x-y=2
于是得到不等式组

x+y≤4 x-y≤2 x≥0，  y≥0

表示的平面区域，即四边形OABC（含边界），
连结AC，则S_{四边形0ABC}=S_Rt△OAC+S_△ABC，
由A（0，4），C（2，0）知，直线AC的方程为2x+y-4=0，且|AC|=2

5

，
由

x+y=4 x-y=2

得B（3，1），从而点B到直线AC的距离d=

|2×3+1-4|

5

=

3

5

，
所以S_△ABC=

1

2

|AC|•d=

1

2

×2

5

×

3

5

=3，
又S_Rt△OAC=

1

2

|OC|•|OA|=

1

2

×2×4=4，
所以S_{四边形OABC}=4+3=7，即原不等式组表示的平面区域的面积为7．
故答案为：7．

点评：1．本题主要考查了不等式组表示的平面区域的应用，平面内的距离公式等，考查了数形结合思想、化归思想，解决本题的关键有两个：一是正确作出不等式组表示的平面区域，二是善于将面积进行转化．
2．对于面积的求解，首先应弄清区域的形状，若为三角形，一般根据“S=

1

2

×底×高”求解，底可以由两点间距离公式得到，高可以由点到直线的距离公式得到；若为四边形或四边以上的多边形，一般将其拆分为几个易求的三角形或四边形求解．