Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n-4n+2，b_n=a_n-2n，
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的首项b₁及通项公式b_n；
（3）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n-4n+2，b_n=a_n-2n，可证

bn+1

bn

=

an+1-2(n+1)

an-2n

3；
（2）利用（1）和等比数列的通项公式即可得出．
（3）由（1）（2）可得：a_n=b_n+2n=2n-3^n-1．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n-4n+2，b_n=a_n-2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1-2(n+1)

an-2n

=

3an-4n+2-2(n+1)

an-2n

=3，
∴数列{b_n}是等比数列．
（2）解：∵b₁=a₁-2=-1．
由（1）可得：bn=-1×3n-1=-3^n-1．
（3）解：由（1）（2）可得：a_n=b_n+2n=2n-3^n-1．
∴S_n=2×

n(n+1)

2

-

3n-1

3-1

=n²+n-

1

2

(3n-1)．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．