Question

7．某生物产品，每一生产周期成本为10万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：

产量（吨）	30	50
概率	0.5	0.5

市场价格（万元/吨）	0.6	1
概率	0.4	0.6

（Ⅰ）设X表示1生产周期此产品的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若连续3生产周期，求这3生产周期中至少有2生产周期的利润不少于20万元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“作物市场价格为0.6万元/吨”，由题意P（A）=0.5，P（B）=0.4和X的可能取值，分别求概率可得分布列；
（Ⅱ）设C_i表示事件“第i生产周期利润不少于20万元”（i=1，2，3），则C₁，C₂，C₃相互独立，可得P（C_i），由相互独立事件和互斥事件的概率公式可得．

解答 解：（Ⅰ）设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“作物市场价格为0.6万元/吨”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格-成本，∴X的所有值为：
50×1-10=40，50×0.6-10=20，
30×1-10=20，30×0.6-10=8，
则P（X=40）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）=（1-0.5）×（1-0.4）=0.3，
P（X=20）=P（$\overline{A}$）P（B）+P（A）P（$\overline{B}$）=（1-0.5）×0.4+0.5（1-0.4）=0.5，
P（X=8）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：

X	40	20	8
P	0.3	0.5	0.2

（Ⅱ）设C_i表示事件“第i生产周期利润不少于20万元”（i=1，2，3），则C₁，C₂，C₃相互独立，
由（Ⅰ）知，P（C_i）=P（X=40）+P（X=20）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3生产周期的利润均不少于20的概率为P（C₁C₂C₃）=P（C₁）P（C₂）P（C₃）=0.8³=0.512，
3生产周期的利润有2生产周期不少于20的概率为P（$\overline{{C}_{1}}$C₂C₃）+P（C₁$\overline{{C}_{2}}$C₃）+P（C₁C₂$\overline{{C}_{3}}$）=3×0.8²×0.2=0.384，
∴所求概率P=0.512+0.384=0.896

点评 本题考查概率分布列，涉及概率的加法和乘法公式，属中档题．