Question

15．已知函数f（x）=ax²+bx+c，a，b，c∈R，且a≠0．记M（a，b，c）为|f（x）|在[0，1]上的最大值，则$\frac{a+b+2c}{M（a，b，c）}$的最大值是2．

Answer 1

分析 先求出a+b+2c=f（0）+f（1），判断出f（0）+f（1）＞0，通过讨论f（0），f（1），M（a，b，c）的大小，从而求出代数式的最大值即可．

解答 解：a+b+2c=f（0）+f（1），为取得最大值，
显然此表达式可取正值，不需要考虑负值的情况，
∴f（0）+f（1）＞0，
在x∈[0，1]上，最大的值可能为f（0），f（1），M（a，b，c）中的任何一个，
①若f（0）或f（1）取最大时，不妨设f（1）＜f（0）最大，
则M（a，b，c）=f（0），$\frac{f（0）+f（1）}{M（a，b，c）}$＜2，
②若f（0）=f（1），同时取最大，
则M（a，b，c）=f（0），$\frac{f（0）+f（1）}{M（a，b，c）}$=2，
③若M（a，b，c）取最大，
则f（0）＜M（a，b，c），f（1）＜M（a，b，c），
$\frac{f（0）+f（1）}{M（a，b，c）}$＜2，
∴最大值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．