题目内容

对?x1，x2∈（0，
π
2
），若x2＞x1，且y1=
1+sinx1
x1
，y2=
1+sinx2
x2
，则（　　）
A、y1=y2
B、y1＞y2
C、y1＜y2
D、y1，y2的大小关系不能确定
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：构造函数f（x）=
1+sinx
x
，x∈（0，
π
2
），需要两次求导判定函数的单调性即可得到．
解答： 解：设函数f（x）=
1+sinx
x
，x∈（0，
π
2
），
则f′（x）=
xcosx-(1+sinx)
x2
，
令u（x）=xcosx-（1+sinx），则u′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx＜0，
∴u（x）在x∈（0，
π
2
）单调递减，∴u（x）＜u（0）=-1＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）在x∈（0，
π
2
）单调递减，
∵x2＞x1，∴y1=
1+sinx1
x1
＞y2=
1+sinx2
x2
，
点评：本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=x2+lnx的图象在点A（1，1）处的切线方程为
 
．
设O是三角形ABC内一点，
OA
+2
OB
+k
OC
=
0
，且S△AOC：S△ABC=2：11，求k的值．
执行如图程序框图．若输入n=20，则输出的S值是（　　）
A、
10
21
B、
20
21
C、
5
11
D、
10
11
对于函数y=f（x），如果存在正实数n，使f（x）在[-n，n]上的值域为[0，n]，则称f（x）为“n矩函数“．例如y=x2是“1矩函数”，y=
1
2
x+
3
4
是“
3
2
矩函数”．
（1）指出下列函数是否为“n矩函数”，若是，请写出正实数n的值组合的集合；
①y=
1
x
；②y=-
1
2
x+1；③y=|x|．
（2）设指数函数f（x）的图象经过点（1，
4
3
），且g（x）=f（|x-c|）-1是“3矩函数”，求实数c的值．
（3）如果对于（2）中函数f（x）的反函数f-1（x），当n∈N*，函数hn（x）=f-1（
an+x
bn-x
）（其中an＞0且bn＞0）是“n矩函数”，①请根据n=1时，hn（x）是“1矩函数”，求a1和b1的值并写出h1（x）的解析式．
若向量
a
，
b
满足：|
a
|=
2
，|
b
|=2且（
a
-
b
）⊥
a
，则
a
与
b
的夹角是（　　）
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5
12
π
在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，sinα），B（2cosα，0），动点C满足|
AC
|=1，则|
OA
+
OB
+
OC
|的最大值是
 
．
∫
3
-3
（x2-2sinx）dx=
 
．
若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y=f（x）-g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系G．
（1）若f（x）=lgx，g（x）=3-x，试判断f（x）和g（x）在[1，4]上是否具有关系G，并说明理由；
（2）若f（x）=2|x-2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，求实数m的取值范围．

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