Question

对于函数y=f（x），如果存在正实数n，使f（x）在[-n，n]上的值域为[0，n]，则称f（x）为“n矩函数“．例如y=x²是“1矩函数”，y=

1

2

x+

3

4

是“

3

2

矩函数”．
（1）指出下列函数是否为“n矩函数”，若是，请写出正实数n的值组合的集合；
①y=

1

x

；②y=-

1

2

x+1；③y=|x|．
（2）设指数函数f（x）的图象经过点（1，

4

3

），且g（x）=f（|x-c|）-1是“3矩函数”，求实数c的值．
（3）如果对于（2）中函数f（x）的反函数f^-1（x），当n∈N^*，函数h_n（x）=f^-1（

an+x

bn-x

）（其中a_n＞0且b_n＞0）是“n矩函数”，①请根据n=1时，h_n（x）是“1矩函数”，求a₁和b₁的值并写出h₁（x）的解析式．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由n矩函数的定义对三个函数依次判断并求正实数n的值组合的集合；
（2）易求f（x）=（

4

3

）^x，从而得到g（x）=（

4

3

）^|x-c|-1，再由g（x）是3矩函数，代入求解；
（3）由f（x）=（

4

3

）^x得f^-1（x）=log

4

3

x，从而得到h_n（x）=f^-1（

an+x

bn-x

）=log

4

3

an+x

bn-x

，故可化为h₁（x）=log

4

3

a1+x

b1-x

是“1矩函数”，从而由定义求解．

解答： 解：（1）①y=

1

x

不是n矩函数；
②∵y=-

1

2

x+1在[-n，n]上递减，
∴y的最小值=-

1

2

n+1=0，
∴n=2，
故y=-

1

2

x+1 是n矩函数，{2}；
③对任意n＞0，y=|x|=

-x，x∈[-n，0] x，x∈(0，n]

，
分段判断y的取值范围，
当x∈[-n，0]时，y∈[0，n]；
当x∈（0，n]时，y∈（0，n]，
∴当x∈[-n，n]时，y∈[0，n]，
∴y=|x|是n矩函数，n集合为{n＞0；
（2）易求f（x）=（

4

3

）^x，
∴g（x）=（

4

3

）^|x-c|-1，
∵g（x）是3矩函数，
∴g（x）在[-3，3]上的值域为[0，3]，
由于|x-c|≥0，故当x=c时，g（x）有最小值=g（c）=0，
∴c∈[-3，3]，
∵-3≤x≤3，
∴-3-c≤x-c≤3-c，
∴|x-c|≤max{|3-c|，|-3-c|}，
∴当c＞0时，g（x）的最大值=g（|-3-c|）=（

4

3

）³-1≠3，与已知矛盾；
当c≤0时，g（x）的最大值=g（|3-c|）=3，解得c=

3

2

-log

4

3

2或c=

3

2

+log

4

3

2（舍去），
故c=

3

2

-log

4

3

2；
（3）f（x）=（

4

3

）^x，
∴f^-1（x）=log

4

3

x，
∴h_n（x）=f^-1（

an+x

bn-x

）=log

4

3

an+x

bn-x

，
若h₁（x）=log

4

3

a1+x

b1-x

是“1矩函数”，
其定义域为：{x|-a₁＜x＜b₁}，
∵

a1+x

b1-x

=

a1+b1

b1-x

-1是单调递增函数，
又∵log

4

3

x也是递增函数，
∴根据复合函数的单调性可知，h₁（x）也是递增函数；
∴h₁（x）_min=h₁（-1）=0，h₁（x）_max=h₁（1）=1；
即

a1-1

b1+1

=1，

a1+1

b1-1

=

4

3

；
解得，a₁=15，b₁=13．
故h₁（x）=log

4

3

15+x

13-x

．

点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．