Question

6．已知函数f（x）=lnax，其中a＞0，过点A（0，a）作与x轴平行的直线交函数f（x）的图象于点P，过点P作f（x）图象的切线交y轴于点B，则△ABP面积的最小值为$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，令lnax=a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令x=0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，以及单调区间和极值，且为最值，即可得到所求值．

解答 解：函数f（x）=lnax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，
由题意可令lnax=a，解得x=$\frac{{e}^{a}}{a}$，
可得P（$\frac{{e}^{a}}{a}$，a），
即有切线的斜率为k=$\frac{a}{{e}^{a}}$，
切线的方程为y-a=$\frac{a}{{e}^{a}}$（x-$\frac{{e}^{a}}{a}$），
令x=0，可得y=a-1，
即B（0，a-1），
在直角三角形PAB中，|AB|=1，|AP|=$\frac{{e}^{a}}{a}$，
则△ABP面积为S（a）=$\frac{1}{2}$|AB|•|AP|=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{a}}{a}$，a＞0，
导数S′（a）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{e}^{a}（a-1）}{{a}^{2}}$，
当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．
即有a=1处S取得极小值，且为最小值$\frac{1}{2}$e．
故答案为：$\frac{1}{2}$e．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．