Question

2．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2C+cos（A+B）=0．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若a=4$\sqrt{3}$sinA，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根据二倍角公式和诱导公式即可求出sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，问题得以解决，
（Ⅱ）根据正弦定理和余弦定理和基本不等式求出ab≤36，再根据面积公式计算即可

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2C+cos（A+B）=0，得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinCcosC-cosC=0．
∵C为锐角，
∴cosC＞0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=4$\sqrt{3}$，
∴c=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
由余弦定理可得36=a²+b²-2ab×$\frac{1}{2}$，
∴36=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×36=9$\sqrt{3}$，
故△ABC面积的最大值为9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简和正弦定理余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力，属于中档题