Question

8．在平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，矩形ADEF中DE=1，且面ADEF⊥面ABCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ECD；
（Ⅱ）求D点到面CEB的距离．

Answer 1

分析 （1）四边形ADEF为正方形，可得ED⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得ED⊥平面ABCD，ED⊥BD．即可证明．
（2）利用V_D-CBE=_E-CBD，即可得出．

解答 （1）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴ED⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．
又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD．
（2）解：CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，又∵矩形ADEF中，DE=1
∴BC=2，CE=$\sqrt{2}$，BE=2．
∴过B作CE的垂线交CE与M，CM=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
Rt△BCD的面积等于$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由得（1）ED⊥平面ABCD，
∴点E到平面BCD的距离为ED=2，
∴V_D-CBE=_E-CBD，∴$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}×h$，解得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
即点D到平面CEB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间距离、体积计算公式、线面面面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．