Question

17．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）的解析式，计算f（$\frac{π}{3}$）的值即可；
（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出它的最小正周期与单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x，
∴f（$\frac{π}{3}$）=cos（$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{3}$）-cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=1；
（Ⅱ）函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x
=cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$-cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
由y=sinx的单调递增区间是[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$；
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．