Question

18．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{m{x^2}+1，x≥0}\\{（{m^2}-1）{2^x}，x＜0}\end{array}}$在（-∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 函数f（x）在（-∞，+∞）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m＞1，m＜-1，m=±1、0，-1＜m＜0，0＜m＜1分别判断分段函数的单调性．

解答 解：令 h（x）=mx²+1，x≥0；g（x）=（m²-1）2^x，x＜0；
①当 m＞1时，要使得f（x）在（-∞，+∞）上是具有单调性，
即要满足m²-1≤1⇒-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{2}$
故：1＜m≤$\sqrt{2}$；
②当 m＜-1时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递增，
所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；
③当 m=±1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；
所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；
④当-1＜m＜0 时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递减，
对于任意的x≥0，g（x）＜0；当x→0时，h（x）＞0；
所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；
⑤当0＜m＜1时，h（x）在x≥0上递增，g（x）在x＜0上递减；
所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查了分段函数的单调性，二次函数与指数函数、以及分类讨论知识点，属基础题．