Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：

1

a1-1

+

2

a2-1

+

3

a3-1

+…+

n

an-1

=n，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式即可得出；
（2）a_n=n+1（n∈N^*）．可得数列{a_n}是等差数列．S_n=

n(n+3)

2

.

1

Sn

=

2

n(n+3)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+3

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： （1）解：当n=1时，

1

a1-1

=1，解得a₁=2．
∵

1

a1-1

+

2

a2-1

+

3

a3-1

+…+

n

an-1

=n，n∈N^*．
当n≥2时，

1

a1-1

+

2

a2-1

+

3

a3-1

+…+

n-1

an-1-1

=n-1，n∈N^*．
两式相减可得：

n

an-1

=1，即a_n=n+1．
当n=1时也成立，
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（II）证明：∵a_n=n+1（n∈N^*）．
∴数列{a_n}是等差数列．
∴S_n=

n(2+n+1)

2

=

n(n+3)

2

．
∴

1

Sn

=

2

n(n+3)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+3

)．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

[(1-

1

4

)+(

1

2

-

1

5

)+(

1

3

-

1

6

)+…+(

1

n

-

1

n+3

)]
=

2

3

[1+

1

2

+

1

3

-(

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

)]＜

2

3

(1+

1

2

+

1

3

)=

11

9

＜

3

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．