Question

已知函数f(x)=sin(ωx+

π

3

)cos(ωx-

π

6

)-

1

2

（0＜ω＜1）的图象关于直线x=

π

3

对称
（1）求ω的值；
（2）若f（α）=

1

6

，α∈(-

2π

3

，

π

3

)，求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由诱导公式和倍角公式化简解析式可得f（x）=cos（2ωx-

π

3

），由题意可得2×ω×

π

3

-

π

3

=kπ，k∈z，求得ω=

3k

2

+

1

2

，k∈z，由0＜ω＜1即可求ω的值．
（2）由（1）及已知可解得：

3

2

sinα=

1

6

-

1

2

cosα，两边平方后整理可得：18cos²α-3cosα-13=0，从而解得cosα的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=sin(ωx+

π

3

)cos(ωx-

π

6

)-

1

2

=sin（ωx+

π

2

-

π

6

）cos（ωx-

π

6

）-

1

2

=cos²（ωx-

π

6

）-

1

2

=cos（2ωx-

π

3

）
∵图象关于直线x=

π

3

对称
由题意可得2×ω×

π

3

-

π

3

=kπ，k∈z，求得ω=

3k

2

+

1

2

，k∈z，
∵0＜ω＜1
∴则ω的值为

1

2

．

（2）∵由（1）得：f（x）=cos（x-

π

3

），
又∵f（α）=

1

6

，α∈(-

2π

3

，

π

3

)，
∴可解得：

3

2

sinα=

1

6

-

1

2

cosα
∴两边平方后整理可得：18cos²α-3cosα-13=0，从而解得：cosα=

1± 105

12

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦函数的图象和性质，计算量较大，属于中档题．