题目内容
设a，b，c都是正实数，求证：
（Ⅰ）a+b+c≥
+
+
（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．
（Ⅰ）a+b+c≥
| ab |
| bc |
| ca |
（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）运用基本不等式可得a+b≥2
，b+c≥2
，a+c≥2
，把以上三个式子相加，可得结论；
（Ⅱ）运用基本不等式可得+b+c≥
，a2+b2+c2≥3
，相乘可得结论．
| ab |
| bc |
| ca |
（Ⅱ）运用基本不等式可得+b+c≥
| 3 | abc |
| 3 | a2b2c2 |
解答：
证明：（Ⅰ）∵a，b，c都是正实数，
∴a+b≥2
，b+c≥2
，a+c≥2
∴把以上三个式子相加得：2（a+b+c）≥2
+2
+2
∴a+b+c≥
+
+
；
（Ⅱ）∵a，b，c都是正实数，
∴a+b+c≥
，a2+b2+c2≥3
相乘可得（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．
∴a+b≥2
| ab |
| bc |
| ca |
∴把以上三个式子相加得：2（a+b+c）≥2
| ab |
| bc |
| ca |
∴a+b+c≥
| ab |
| bc |
| ca |
（Ⅱ）∵a，b，c都是正实数，
∴a+b+c≥
| 3 | abc |
| 3 | a2b2c2 |
相乘可得（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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