Question

设f（x）=

x

a(x+2)

，x=f（x）有唯一解，f（x₀）=

1

1008

，f（x_n-1）=x_n，n=1，2，3，…，则x₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考点：进行简单的演绎推理

专题：综合题,推理和证明

分析：由已知得f（x）=

2x

x+2

，从而x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

，由此能求出数列{

1

xn

}是首项为1008，公差等于

1

2

的等差数列．由此能求出结果．

解答： 解：∵f（x）=

x

a(x+2)

，f（x）=x有唯一解，
∴x=

x

a(x+2)

，解得x=0或x=

1

a

-2，
由题意知

1

a

-2=0，∴a=

1

2

，f（x）=

2x

x+2

，
∴x_n=f（x_n-1）=

2xn-1

xn-1+2

，
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

，
又∵x₁=f（x₀）=

1

1008

，∴

1

x1

=1008，
∴数列{

1

xn

}是首项为1008，公差等于

1

2

的等差数列．
∴

1

x2015

=1008+（2015-1）•

1

2

=2015，
∴x₂₀₁₅=

1

2015

．
故答案为：

1

2015

．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质和等差数列的性质的合理运用．