Question

如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC与平面ACD互相垂直．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）在BD上是否存在一点P，使CP⊥平面ABD，证明你的结论；
（3）求点C到平面ABD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明CD⊥平面ABC，然后证明AB⊥CD；
（2）存在，P为BD中点，使CP⊥平面ABD，证明AB⊥平面BCD，AB⊥CP，利用AB∩BD=B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，即可CP⊥平面ABD；
（3）利用CP⊥平面ABD，通过解三角形即可点C到平面ABD的距离．
法二，利用等体积方法，求出点C到平面ABD的距离．

解答： （1）证明：∵AB=BC，∠B=90°即AB⊥BC∴∠ACD=90°即CD⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACD，
平面ABC∩平面ACD=AC，CD?平面ACD∴CD⊥平面ABC…（3分）
∵AB?平面ABC，∴CD⊥AB…（4分）
（2）存在，P为BD中点．…（6分）
证明：∵BC=CD，∴CP⊥BD，…（7分）
由（1）知，CD⊥AB
又∵AB⊥BC
BC∩CD=C，
BC?平面BCD，
CD?平面BCD，
∴AB⊥平面BCD                    …（8分）
又∵CP?平面BCD∴AB⊥CP，…（10分）
∵AB∩BD=B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CP⊥平面ABD                   …（12分）
（3）由（1）知，CD⊥平面ABC
又∵BC?平面ABC∴CD⊥BC…（14分）
又∵BC=CD=a，P为BD中点∴CP=

2

2

a
由（2）知，CP⊥平面ABD∴点C到平面ABD的距离即CP的长，为

2

2

a…（16分）
（证法二）∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB⊥BD，BD=

AD2-AB2

=

2

a，
∴S△ABD=

1

2

AB•BD=

2

2

a2，…（13分）
∵CD⊥平面ABC，…（14分）
∴VD-ABC=

1

3

CD•S△ABC=

1

6

a3．
设点C到平面ABD的距离为h，则VC-ABD=

1

3

h•S△ABD=

2

6

a2，
所以h=

2

2

a．…（16分）

点评：本题考查直线与平面的垂直的判断，直线与平面所成的角的大小，点到平面的距离的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．