Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点A，上顶点为B，F₁为左焦点，M为椭圆上一点，MF₁垂直于x轴，O为坐标原点且

AB

与

OM

共线，又直线l：（k+2）x-2ky+4k+8=0（k∈R），过定点P，且P恰在椭圆的左准线上．
（1）求定点P的坐标；
（2）求椭圆C的方程；
（3）设直线l与直线MF₁的交点为Q，当k为何值时以PQ为直径的圆过点B？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：探究型,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对第（1）问，将直线l的方程中的k分离出来，根据定点不随k的改变而改变，即可获得定点．
对第（2）问，由P点在椭圆的左准线上，得a与c的等量关系；由MF₁垂直于x轴，可设M（-c，y₀），利用

AB

与

OM

共线的充要条件，得y₀的表达式，再将点M的坐标代入椭圆方程中，得a，c的另一个关系，联立关于a，c的两个方程，可得a，c的值，从而得b²，即得椭圆的标准方程．
对第（3）问，设Q点的坐标为（-2，y₁），可用y₁表示

BQ

的坐标，而

BP

的坐标可求，由

BP

⊥

BQ

，得关于y₁的方程，可得y₁的值，由两点的斜率公式，得直线PQ的斜率，即为直线l的斜率，由l的方程得关于k的方程，即可得k的值．

解答： 解：（1）直线l的方程变形为k（x-2y+4）+2x+8=0，
由于l过定点P，则当k变化时，上式恒成立，所以

x-2y+4=0 2x+8=0

，
得

x=-4 y=0

，即定点P的坐标为（-4，0）．
（2）由点P（-4，0）在椭圆的左准线x=-

a2

x

上知，-

a2

c

=-4，得a²=4c．…①
由MF₁垂直于x轴，可设M（-c，y₀），则

OM

=(-c，y0)，
易知，

AB

=(-a，b)，由

AB

与

OM

共线，得-bc=-ay₀，即y0=

bc

a

，从而M(-c，

bc

a

)，
又M在椭圆上，将M的坐标代入椭圆方程中，得

(-c)2

a2

+

( bc a )2

b2

=1，化简得a²=2c²．…②
由①、②，得c=2，a²=8，从而b²=a²-c²=4．
故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（3）由（2）知，直线MF₁的方程为x=-2，
由于Q点在直线MF₁上，可设Q点的坐标为（-2，y₁），则

BQ

=(-2，y1-2)，
易知，

BP

=(-4，-2)，当

BP

⊥

BQ

时，以PQ为直径的圆过点B，
此时，

BP

•

BQ

=0，得（-4，-2）•（-2，y₁-2）=0，解得y₁=6，即Q（-2，6）．
由两点的斜率公式，得直线PQ的斜率=

6-0

-2-(-4)

=3，
又由l的方程知，l的斜率=

k+2

2k

，
所以

k+2

2k

=3，解得k=

2

5

，
即当k为

2

5

时，以PQ为直径的圆过点B．

点评：本题考查了直线的方程，椭圆的方程，圆的性质等，关键是将“以PQ为直径的圆过点B”转化为两直线的垂直问题．