Question

已知首项为

1

2

的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式16（T_n+2）≥n+2的最大的n值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题知a1=

1

2

，且S1+a1 ，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列，从而得到S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，进而

3

2

q=

1

2

+q2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由于b_n=a_n•log₂a_n=-n•（

1

2

）ⁿ，利用错位相减法求出T_n=(n+2)(

1

2

)n-2，由16（T_n≥n+2，求出最大的n值是4．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题知a1=

1

2

，且S1+a1 ，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
解得2（S₂+a₂）=S₁+a₁+S₃+a₃，
变形，得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，
得3a₂=a₁+2a₃，所以

3

2

q=

1

2

+q2，
解得q=

1

2

或q=1，又等比数列{a_n}是递减数列，
所以q=

1

2

，数列{a_n}的通项公式a_n=（

1

2

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）由于b_n=a_n•log₂a_n=-n•（

1

2

）ⁿ，
所以数列{b_n}的其前n项和为T_n为
Tn=-[1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n]，①

1

2

Tn=-[1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+1]，
①-②得

1

2

Tn=-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1]
=n×(

1

2

)n+1-

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

，
∴T_n=(n+2)(

1

2

)n-2，
由16（T_n≥n+2，得n≤4，满足不等式
16（T_n+2）≥n+2的最大的n值是4．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足不等式的最大项数的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．