Question

如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，|BB₁|=a，E为BB₁延长线上的一点且满足|BB₁|•|B₁E|=1．
（1）求证：D₁E⊥平面AD₁C；
（2）当a=1时，求二面角E-AC-D₁的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明D₁E⊥平面AD₁C．
（Ⅱ）分别求出平面EAC的法向量和平面AD₁C的法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-D₁的大小．

解答： 解：（1）如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（1，0，0），C（0，1，0），
∵|

BB1

|=a，|

BB1

|•|

B1E

|=1，
所以 D1(0，0，a)，E(1，1，a+

1

a

)，…（2分）

∴

D1E

=(1，1，

1

a

)，

AD1

=(-1，0，a)，

CD1

=(0，-1，a)，
∵

D1E

•

AD1

=-1+0+

1

a

•a=0，
∴D₁E⊥AD₁
又∵

D1E

•

CD1

=-1+

1

a

•a=0，
∴D₁E⊥CD₁∵AD₁∩CD₁=D₁，
∴D₁E⊥平面AD₁C…（6分）
（也可用勾股定理证明D₁E⊥AD₁，D₁E⊥CD₁）
（2）当a=1时，

AE

=(0，1，2)，

CE

=(1，0，2)
设平面EAC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AE =0 n • CE =0

，即

y+2z=0 x+2z=0

，
令z=1，则x=y=-2，
∴

n

=(-2，-2，1)．…（9分）
∵D₁E⊥平面AD₁C，
∴平面AD₁C的法向量

D1E

=(1，1，

1

a

)，
因为a=1，
所以

D1E

=(1，1，1)，
∴cos?

n

，

D1E

＞=

-2-2+1

4+4+1 • 1+1+1

=-

3

3

，…（12分）
∴当a=1时，二面角E-AC-D₁的平面角的余弦值为

3

3

…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．