Question

将底边BC长为6

5

，腰长AB为 9的等腰三角形沿DE折叠成二面角为120°的空间图形，且AD=AE=3．
（1）求证：AP⊥BC；
（2）求二面角P-BD-E的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）通过折叠问题把平面问题空间化，进一步利用等腰三角形的性质求出线线垂直，最后证明面面垂直．
（2）根据第一步的结论，先作出二面角的平面角，最后利用比例关系求出相关的线段长，最后求出结果．

解答： 证明：（1）连接AP，作△ABC中线AM交DE于F，
再连接PF，由等腰三角形的性质知：
DE⊥AF，DE⊥PF，所以
DE⊥面APF，
于是DE⊥AP，又由题知显然
DE∥BC，
所以AP⊥BC 
解：（2）过P作PO⊥AM于O，
由（1）知：DE⊥PO，
所以：PO⊥平面ABC，
过O作ON⊥AB于N，
连接PN，则：AB⊥平面PON，
从而得到：AB⊥PN，
所以：∠PNO即为所求二面角的平面角；
由BC=6

5

，AB=9，且AD=AE=3得：
AM=6，AF=PF=2，∠PFO=60°，
故FO=AO=1，PO=

3

，
根据

ON

OA

=

BM

BA

，
解得：ON=

3 5

9

，
所以：tan∠PNO=

PO

ON

=

3 15

5

，
即二面角的正切值为

3 15

5

．

点评：本题考查的知识点：，折叠问题中平面图形向空间图形之间的转化，线面垂直的判定定理，二面角的做法与求值问题，属于基础题型．