Question

已知函数f（x）=x²-alnx．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果a＞0，讨论函数y=f（x）在区间（1，e）上零点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，讨论a＞0，a≤0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；
（Ⅱ）求出函数的导函数f′（x），然后利用导数研究函数g（x）在区间（1，e）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数f（x）在区间（1，e）上的零点情况．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²-alnx的导数f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

（x＞0），
若a≤0，则f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）上递增；
若a＞0，由f′（x）＞0得到x＞

a 2

，由f′（x）＜0得到0＜x＜

a 2

，
即有a＞0时，f（x）的增区间为（

a 2

，+∞），减区间为（0，

a 2

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的极小值为f（

a 2

）=

a

2

（1-ln

a

2

），也为最小值．
当

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e，f（x）的最小值大于0，则y=f（x）在区间（1，e）上无零点；
当

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e，即有1＜

a 2

＜e，而f（1）=1＞0，f（

a 2

）=0，f（e）＞0，
则f（x）在（1，e）上有一个零点；
当

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，即a＞2e，即有

a 2

＞

e

＞1，若e＞

a 2

＞

e

＞1
而f（1）=1＞0，f（

a 2

）＜0，f（e）＞0，则f（x）在（1，e）上有两个零点；
若

a 2

＞

e

＞1，且e≤

a 2

，则f（x）在（1，e）上有无零点．
综上，综上所述：当0＜a＜2e或a≥2e²时，函数f（x）无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当2e＜a＜2e²时，函数f（x）有两个零点．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查函数的零点个数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．