Question

设矩阵A=MN，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．其中 M=

1 1

2 4

，N=

1 -1

2 1

．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：矩阵和变换

分析：本题先利用矩阵乘法的定义求出矩阵A，再利用相应的特征多项式求出向量的特征值，再利用特征值求出相应的一个特征向量，得到本题结论．

解答： 解：∵矩阵M=

1 1

2 4

，N=

1 -1

2 1

，
∴矩阵A=MN=

1 1

2 4

×

1 -1

2 1

=

-1 4 -3 6

．
∴矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ+1 -4 3 λ-6

.

=（λ+1）（λ-6）+12．
令f（λ）=0，
∴（λ+1）（λ-6）+12=0，
∴λ²-5λ+6=0，
∴λ=2或λ=3．
当λ=2时，

3x-4y=0 3x-4y=0

，取x=4，y=3，对应的一个特征向量为ζ=

4 3

；
当λ=3时，

4x-4y=0 3x-3y=0

，取x=1，y=1，对应的一个特征向量为ζ=

1 1

；
∴矩阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=3，特征向量分别为ξ1=

4 3

  ， ξ2=

1 1

．

点评：本题考查的是向量的乘法、向量的特征值、特征向量的求法，本题难度不大，属于基础题．