题目内容
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
，科目B每次考试成绩合格的概率均为
．假设各次考试成绩合格与否均不影响．
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
考点：离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出他不需要补考就可获得证书的概率．
（2）由题意知ξ=2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
（2）由题意知ξ=2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．
解答：
解：（1）设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2，
“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2，
∴他不需要补考就可获得证书的概率为：
P（A1B1）=P（A1）P（B1）=
×
=
．
（2）由题意知ξ=2，3，4，
P（ξ=2）=
×
+
×
=
，
P（ξ=3）=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
，
P（ξ=4）=
×
×
×
+
×
×
×
=
，
∴ξ的分布列为：
Eξ=2×
+3×
+4×
=
．
“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2，
∴他不需要补考就可获得证书的概率为：
P（A1B1）=P（A1）P（B1）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
（2）由题意知ξ=2，3，4，
P（ξ=2）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
P（ξ=3）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 9 |
P（ξ=4）=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 2 | 3 | 4 | ||||||
| P |
|
|
|
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 8 |
| 3 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
相关题目