Question

3．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$；②函数y=f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）=e^x-x，设a=f（-5），b=f（$\frac{19}{2}$），c=f（$\frac{41}{4}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． b＜a＜c
• B． c＜a＜b
• C． a＜b＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 由题意可得函数y=f（x）为周期为4的函数，从而可得c=f（$\frac{41}{4}$）=f（$\frac{9}{4}$）=f（$\frac{7}{4}$），b=f（$\frac{19}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），利用函数y=f（x+2）是偶函数，可得a=f（-5）=f（3）=f（1），利用单调性即可求解．

解答 解：∵对于任意的x∈R，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=f（x），故函数y=f（x）为周期为4的函数．
∴b=f（$\frac{19}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
∵函数y=f（x+2）是偶函数
∴f（-x+2）=f（x+2），
∴a=f（-5）=f（3）=f（1），
c=f（$\frac{41}{4}$）=f（$\frac{9}{4}$）=f（$\frac{7}{4}$），
∵当x∈（0，2]时，f（x）=e^x-x是增函数，1＜$\frac{3}{2}$＜$\frac{7}{4}$，
∴a＜b＜c．
故答案选：C．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，属于基础题．