Question

13．已知函数$y=x+\frac{t}{x}$有如下性质：当t＞0时，在$（0，\sqrt{t}）$单调递减，在$（\sqrt{t}，+∞）$单调递增．
（Ⅰ）若$f（x）=\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}，x∈[0，1]$，利用上述性质求f（x）的单调区间（不用证明）和值域；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的f（x）和g（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[0，1]，均存在x₂∈[0，1]，使g（x₂）=f（x₁），求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将f（x）变形，从而根据基本不等式的性质求出f（x）的单调区间以及函数的值域；（Ⅱ）求出g（x）的值域，得到关于a的不等式组，求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（2x+1）+$\frac{4}{2x+1}$-8，
∵x∈[0，1]，∴2x+1＞0，
∴f（x）≥2$\sqrt{（2x+1）•\frac{4}{2x+1}}$-8=-4，
当且仅当x=$\frac{1}{2}$时取“=”，
故f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，1]递增，
而f（0）=-3，f（1）=-$\frac{11}{3}$，
故f（x）的值域是[-4，-3]；
（Ⅱ）g（x）=-x-2a在[0，1]递减，
g（x）_min=-2a-1，g（x）_max=-2a，
故g（x）的值域是[-2a-1，-2a]，
若对任意x₁∈[0，1]，均存在x₂∈[0，1]，使g（x₂）=f（x₁），
只需$\left\{\begin{array}{l}{-2a-1≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、值域问题，考查转化思想，是一道中档题．