题目内容
18．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）| 几何题 | 代数题 | 总计 | |
| 男同学 | 22 | 8 | 30 |
| 女同学 | 8 | 12 | 20 |
| 总计 | 30 | 20 | 50 |
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙同时各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，求甲、乙两名女生至少有一人被选中的概率．
附表及公式：
| P（k2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
分析 （1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，有${C}_{8}^{2}$=28种结果，没有甲、乙两名女生，有${C}_{6}^{2}$=15种结果，即可求出甲、乙两名女生至少有一人被选中的概率．
解答 解：（1）由表中数据得k2的观测值k2=$\frac{50×（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024，
∴有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；
（2）甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$（如图所示）
设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$，即乙比甲先解答完的概率为$\frac{1}{8}$；
（3）从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，有${C}_{8}^{2}$=28种结果，没有甲、乙两名女生，有${C}_{6}^{2}$=15种结果，
∴甲、乙两名女生至少有一人被选中的概率为$\frac{13}{28}$．
点评 本题考查概率的计算、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．
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| A． | f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$单调递增 | B． | f（x）在$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$单调递减 | ||
| C． | f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$单调递增 | D． | f（x）在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$单调递减 |