Question

15．若直线y=-x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一个公共点，则b的取值范围是$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，分类讨论求得当直线y=-x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$即恰有一个公共点时b的取值范围．

解答 解：曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一个半径为1的半圆．
当直线y=-x+b经过点A（0，-1）时，求得b=-1，
当直线y=-x+b经过点B（0，1）时，求得b=1，
当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y=-x+b的距离等于半径，
可得$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1=1，求得b=$\sqrt{2}$，或b=-$\sqrt{2}$（舍去）．
故当直线y=-x+b与曲线x=$\sqrt{1-{y^2}}$即有一个公共点时b的取值范围是$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$，
故答案为$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题．