Question

19．定义在实数集R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜$\frac{1}{3}$，则不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{3}$的解集为（0，2）．

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{3}$，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集

解答 解：设g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，
∵f′（x）＜$\frac{1}{3}$，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$＜0，
∴g（x）为减函数，又f（2）=1，
∴f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{3}$=$\frac{1}{3}$log₂x+$\frac{1}{3}$，
即g（log₂x）=f（log₂x）-$\frac{1}{3}$log₂x＞$\frac{1}{3}$=g（2）=f（2）-$\frac{2}{3}$=g（log₂2），
∴log₂x＜log₂2，又y=log₂x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log₂x）＞$\frac{lo{g}_{2}x+1}{3}$的解集为（0，2）．
故答案为：（0，2）．

点评 此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题