Question

10．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c，图象上的点（1，5）处的切线方程为y=5．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=-1时有极值，求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间[2，3]上是增函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=0，f（1）=5，f′（-1）=0，求出a，b，c的值即可求出函数的表达式；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于b的不等式组，求出b的范围即可．

解答 解：f'（x）=-3x²+2ax+b
因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为0，
所以f'（1）=-3+2a+b=0，即2a+b=3…①…（2分）
又f（1）=-1+a+b+c=5，即a+b+c=6…②…（4分）
（Ⅰ）函数f（x）在x=-1时有极值，所以f'（-1）=-3-2a+b=0…③
解①②③得a=0，b=3，c=3，所以f（x）=-x³+3x-3．…（6分）
（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，
所以导函数f'（x）=-3x²+（3-b）x+b在区间[2，3]上的函数值恒大于或等于零，
由$\left\{{\begin{array}{l}{f'（2）=-12+2（3-b）+b≥0}\\{f'（3）=-27+3（3-b）+b≥0}\end{array}}\right.$，⇒b≤-9
所以实数b的取值范围为（-∞，-9]．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及求函数的表达式问题，是一道中档题．