Question

7．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是同一平面内的两个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，-2），|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求向量$\overrightarrow{b}$的坐标；
（Ⅱ）若（2$\overline{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-20，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，这样根据条件即可建立关于x，y的方程组，解该方程组即可求出，x，y，从而得出向量$\overrightarrow{b}$的坐标；
（Ⅱ）根据条件便可得出$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$，且$|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{5}$，这样进行向量数量积的运算便可由$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=-20$得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，进而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：（Ⅰ）设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，根据条件，则：
$\left\{\begin{array}{l}{1•y-（-2）•x=0}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{b}=（-2，4）$，或（2，-4）；
（Ⅱ）${\overrightarrow{a}}^{2}=5，{\overrightarrow{b}}^{2}=20$；
∴$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}$=$20-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-60=-20$；
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-5$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\sqrt{5}•2\sqrt{5}cos$$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$10cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-5$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{2π}{3}$．

点评 考查根据向量坐标求向量长度的公式，向量平行时的坐标关系，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围．