Question

已知函数f（x）=cos2x-2

3

sinx•cosx．
（1）求f（x）最小正周期及最值；  
（2）若α∈（

π

2

，π），且f（α）=2，求f（α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据周期公式求得其最小正周期，根据正弦函数的图象和性质求得最大和最小值．
（2）根据f（α）的值求得α的值，最后利用两角和公式求得f（α+

π

3

）．

解答： 解：（1）f(x)=cos2x-2

3

sinx•cosx=-2(sin2x•

3

2

-cos2x•

1

2

)=-2sin(2x-

π

6

)，
所以T=

2π

2

=π．[f（x）]_max=2；[f（x）]_min=-2．
（2）由（1）得，f(α)=-2sin(2α-

π

6

)=2，
得：sin(2α-

π

6

)=-1，即2α-

π

6

=

3π

2

+2kπ，k∈Z．得：α=

5π

6

+kπ，k∈Z
又因为

π

2

＜α＜π，所以α=

5π

6

．
f(α+

π

3

)=f(

5π

6

+

π

3

)=f(

7π

6

)=-2sin(2•

7π

6

-

π

6

)=-2sin(

13π

6

)
=-2sin

π

6

=-2•

1

2

=-1

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对三角函数图象，基本公式能够熟练记忆，并能灵活运用．