题目内容
设函数f（x）=2cos（2x-
），则下列结论正确的是 （写出所有正确的编号）．
①f（x）的最小正周期为π；
②f（x）在区间[
，
]上单调递增；
③f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=
+
π，k∈Z}；
④将f（x）的图象向左平移
个单位，得到一个奇函数的图象；
⑤当x∈[
，
]时，关于x的方程f（x）-m=0有且只有一个实数根，则m∈[1，
）．
| 2π |
| 3 |
①f（x）的最小正周期为π；
②f（x）在区间[
| 5π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
③f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=
| π |
| 3 |
| k |
| 2 |
④将f（x）的图象向左平移
| 7π |
| 12 |
⑤当x∈[
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
| 3 |
考点：正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得到结论．
解答：
解：对于函数f（x）=2cos（2x-
），由于它的周期为
=π，故①正确．
令2kπ-π≤2x-
≤2kπ，k∈z，求得 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，
故函数的减区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z，故f（x）在区间[
，
]上单调递增，故②正确．
令2x-
=2kπ，求得x=kπ+
，k∈z，故f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=
+kπ，k∈Z}，
故③不正确．
将f（x）的图象向左平移
个单位，得到函数y=2cos[2（x+
）-
]=2cos（2x+
）
=2sin2x的图象，由于y=-2sin2x为奇函数，故④正确．
当x∈[
，
]时，2x-
∈[-
，
]，f（x）∈[1，2]．
若关于x的方程f（x）-m=0有且只有一个实数根，
则函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，
则m=2，或1＜m＜
，故⑤不正确，
故答案为：①②④．
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 2 |
令2kπ-π≤2x-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
故函数的减区间为[kπ-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
令2x-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
故③不正确．
将f（x）的图象向左平移
| 7π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
=2sin2x的图象，由于y=-2sin2x为奇函数，故④正确．
当x∈[
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
若关于x的方程f（x）-m=0有且只有一个实数根，
则函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点，
则m=2，或1＜m＜
| 3 |
故答案为：①②④．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的变换规律，属于基础题．
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