Question

设圆（x+1）²+y²=16的圆心为C，A（1，0）是圆内一点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M．
（1）求点M的轨迹T的方程；
（2）设直线l：y=kx+1-2k恒过点P，且与曲线T相交于不同的两点B、D，若

PB

•

PD

＞

5

4

，试求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=4，故有|MC|+|MA|=4＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程；
（2）根据直线经过定点P，

PB

、

PD

共线，想到用直线参数方程的几何意义求解．

解答： 解：（1）由圆的方程可知，圆心C（-1，0），半径等于4，设点M的坐标为（x，y ），
∵AQ的垂直平分线交CQ于M，
∴|MA|=|MQ|．
又|MQ|+|MC|=4（半径），
∴|MC|+|MA|=4＞|AC|=2．
∴点M满足椭圆的定义，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴点M的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意P（2，1），直线参数方程为

x=2+tcosθ y=1+tsinθ

，则
代入椭圆的标准方程可得t²（3+sin²θ）+（12cosθ+8sinθ）t+4=0，
∵

PB

•

PD

＞

4

5

，
∴

4

3+sin2θ

＞

5

4

，
∴-

5

5

＜sinθ＜

5

5

，
∴k=tanθ∈(-

1

2

，

1

2

)．

点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MA|=4＞|AC|，是解题的关键和难点．