Question

在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8．则三棱锥S-ABC体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：利用条件、余弦定理可得cos∠SAB=

SA2+AB2-SB2

2SA•AB

≤-

1

5

，可得sin∠SAB≤

2 6

5

，可得S_△SAB 的最大值．点C到面SAB的距离为h，由h≤CB≤6，由此求得三棱锥S-ABC体积V=

1

3

•S_△SAB•h 的最大值．

解答： 解：∵在三棱锥S-ABC中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8，
∴S_△SAB=

1

2

SA•SB•sin∠SAB，又cos∠SAB=

SA2+AB2-SB2

2SA•AB

≤-

1

5

，∴sin∠SAB≤

2 6

5

，
∴S_△SAB=

1

2

×4×5×sin∠SAB≤4

6

．
设点C到面SAB的距离为h，则h≤CB≤6，
根据三棱锥S-ABC体积V=

1

3

•S_△SAB•h≤

1

3

×4

6

×6=8

6

，
故答案为：8

6

．

点评：本题主要考查余弦定理、三棱锥的体积，属于基础题．