Question

设

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，根据三角函数的单调性求得函数单调增区间．
（2）根据x的范围确定2x-

π

3

的范围，继而根据余弦函数的图象与性质求得起最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=cos²x+

3

sinxcosx=

1

2

（cos2x+1）+

3

2

sin2x=cos2xcos

π

3

+sin2x•sin

π

3

+

1

2

=cos（2x-

π

3

）+

1

2

，
当2x-

π

3

∈[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z，时，f（x）单调增，
x∈[kπ+

2π

3

，π+

7π

6

]，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ+

2π

3

，π+

7π

6

]，k∈Z，
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，令u=2x-

π

3

，f（x）=cosu+

1

2

函数f（x）在[-

π

3

，0]上递增，在[0，

2π

3

]上递减，
∴cos（-

π

3

）=

1

2

，cos0=1，cos

2π

3

=-

1

2

，
∴x当∈[0，

π

2

]时，f（x）的值域为[0，

3

2

]．

点评：本题主要考察了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考察了学生综合素质的体现．