Question

5．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{sin^2}x$．
（1）求$f（\frac{π}{12}）$的值；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简可求函数解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，代入x=$\frac{π}{12}$即可求值；
（2）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质可得f（x）的值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{sin^2}x$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x+1$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴$f（\frac{π}{12}）$=2sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+1=1；…（7分）
（2）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]…（15分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．