Question

14．△ABC的三个内角为A，B，C，若$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=tan（-$\frac{7}{12}$π），则2cosB+sin2C的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据书籍可得A=$\frac{π}{4}$，进而将2cosB+sin2C化为-2[cos（$\frac{π}{4}$+C）+$\frac{1}{2}$]²+$\frac{3}{2}$，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：∵$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=$-\frac{2sin（A+\frac{π}{3}）}{2cos（A+\frac{π}{3}）}$=$-tan（A+\frac{π}{3}）$=tan（-$\frac{7}{12}$π）=-tan（$\frac{7}{12}$π），
∴$tan（A+\frac{π}{3}）$=tan（$\frac{7}{12}$π），
∴$A+\frac{π}{3}$=$\frac{7}{12}$π+kπ，k∈Z，
又由A为三角形内角，
∴A=$\frac{π}{4}$，
∴2cosB+sin2C=-2cos（A+C）+sin2C=-2cos（$\frac{π}{4}$+C）-cos（$\frac{π}{2}$+2C）=-2cos²（$\frac{π}{4}$+C）-2cos（$\frac{π}{4}$+C）+1=-2[cos（$\frac{π}{4}$+C）+$\frac{1}{2}$]²+$\frac{3}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
故2cosB+sin2C的最大值为：$\frac{3}{2}$
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及应用，函数的最值，二次函数的图象和性质，难度中档．