Question

18．在△ABC中，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$，$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AC}}|=3$，则$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$的值为（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． $-\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{9}{2}$，根据向量的加法的几何意义即可求出答案

解答 解：$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=3
两边平方可得|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3|$\overrightarrow{AB}$|²+3|$\overrightarrow{AC}$|²-6$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$=（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$）$\overrightarrow{CA}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了向量的加法的几何意义，以及向量数量积的计算公式，属于基础题