Question

四面体ABCD中，AB=CD=a+b（其中a，b分别是方程x+lnx=3，x+e^x=3的解），AC=BD=m，AD=BC=n，并且a+b既是m与n的等差中项，又是m与n的等比中项．则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）

• A、27π
• B、

  27

  2

  π
• C、

  27 6

  8

  π
• D、54π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知可得a=b=m=3，即四面体ABCD是一个棱长为3的正四面体，此四面体ABCD的四个顶点，是棱长为

3 2

2

的正方体的四个顶点，此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入面积公式、体积公式计算．

解答：解：∵a，b分别是方程x+lnx=3，x+e^x=3的解，
∴a+lna=3…①，
b+e^b=3…②，
当a+b=3时，a=3-b，
由②得：e^b=3-b，即b=ln（3-b），
此时①：a+lna=3-b+ln（3-b）=3-ln（3-b）+ln（3-b）=3成立，
故a+b=3满足条件；
又∵a+b既是m与n的等差中项，又是m与n的等比中项，
∴a=b=m=3，
即四面体ABCD是一个棱长为3的正四面体，
此四面体ABCD的四个顶点，是棱长为

3 2

2

的正方体的四个顶点，
此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
故球的半径R满足：2R=

3 6

2

，
故四面体ABCD的外接球的表面积S=4πR²=

27

2

，
故选：B

点评：本题考查几何体的接体问题，考查了空间想象能力，其解答的关键是根据几何体的结构特征，求出接体几何元素的数据，代入面积、体积公式分别求解．