Question

设A是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴上的一个顶点，若椭圆存在点P，使AP⊥OP，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由于∠AP0=90゜，可得点P所在的圆的方程x²+y²-ax=0，与椭圆方程联立可得交点P的横坐标，即a与b的关系，再利用离心率计算公式即可得出．

解答： 解：∵∠AP0=90゜，∴点P在以AO为直径的圆上，
∵O（0，0），A（a，0），
∴以AO为直径的圆方程为x²+y²-ax=0，
联立

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2-ax=0

消去y，得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0．
设P（m，n），则m+a=-

a3

b2-a2

，ma=

-a2b2

b2-a2

，可得m=

ab2

a2-b2

．
∵由图形得0＜m＜a，∴0＜

ab2

a2-b2

＜a，
即b²＜a²-b²，可得a²-c²＜c²，得a²＜2c²
∴e2＞

1

2

，∴e＞

2

2

．
又∵e∈（0，1），
∴椭圆的离心率e的取值范围为（

2

2

，1）．

点评：本题考查了圆与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、椭圆的离心率范围性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．