Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n²cos

2nπ

3

（n∈N^*），其前n项和为S_n．
（1）求a_3n-2+a_3n-1及S_3n的表达式；
（2）设bn=

S3n

n•2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意和诱导公式分别求出a_3n-2、a_3n-1和a_3n，再求出一个周期的和：a_3n-2+a_3n-1+a_3n的值，利用分组求和法求出S_3n的表达式；
（2）由（1）和题意求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（1）由题意得，a_n=n²cos

2nπ

3

（n∈N^*），
所以a_3n-2=(3n-2)2cos(

6n-4

3

π)=(3n-2)2cos(2nπ-

4π

3

)=-

(3n-2)2

2

，
a_3n-1=(3n-1)2cos(

6n-2

3

π)=(3n-1)2cos(2nπ-

2π

3

)=-

(3n-1)2

2

a_3n=(3n)2cos(

6n

3

π)=(3n)2cos(2nπ)=9n²，
则a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-

(3n-2)2

2

-

(3n-1)2

2

+9n2=9n-

5

2

，
所以S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=（9×1-

5

2

）+（9×2-

5

2

）+…+（9×n-

5

2

）
=9（1+2+…+n）-

5n

2

=9×

n(1+n)

2

-

5n

2

=

9

2

n2+2n，
（2）由（1）得，bn=

S3n

n•2n-1

=

9 2 n2+2n

n•2n-1

=

9n+4

2n

，
则T_n=

13

2

+

22

22

+

31

23

+…+

9n+4

2n

   ①，

1

2

T_n=

13

22

+

22

23

+

31

24

+…+

9n+4

2n+1

  ②，
①-②得，

1

2

T_n=

13

2

+

9

22

+

9

23

+

9

24

+…+

9

2n

-

9n+4

2n+1

=

4

2

+

9 2 [1- 1 2n ]

1- 1 2

-

9n+4

2n+1

=11-

18

2n+1

-

9n+4

2n+1

=11-

9n+22

2n+1

，
所以T_n=22-

9n+22

2n

．

点评：本题考查诱导公式的应用，等差、等比数列的前n项和公式，以及数列的前n项和的求法：错位相减法、分组求和法的合理运用，以及余弦函数周期性的应用．