Question

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ=2

2

sin（θ-

π

4

），直线l的参数方程为

x=1+tcosα y=2+tsinα

（t为参数，0≤a＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）当a=0时，求|AB|的长度；    
（2）求|PA|²+|PB|²的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可得出；
（2）设t₁，t₂为相应参数值t²+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，利用根与系数的关系可得|PA|²+|PB|²=(t1+t2)2-2t1t2即可得出．

解答： 解：（1）曲线C的方程是ρ=2

2

sin（θ-

π

4

），化为ρ2=2

2

ρ(

2

2

sinθ-

2

2

cosθ)，
化为ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴x²+y²=2y-2x，
曲线C的方程为（x+1）²+（y-1）²=2．
当α=0时，直线l：y=2，
代入曲线C可得x+1=±1．解得x=0或-2．
∴|AB|=2．
（2）设t₁，t₂为相应参数值t²+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，
∴

3

5

＜sin2(α+φ)≤1，
∴t₁+t₂=-（4cosα+2sinα），t₁t₂=3．
∴|PA|²+|PB|²=(t1+t2)2-2t1t2=（4cosα+2sinα）²-8=20sin²（α+φ）-6，
∴|PA|²+|PB|²∈（6，14]．

点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．