Question

由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：

组别	候车时间（单位：min）	人数
一	[0，5）	1
二	[5，10）	5
三	[10，15）	3
四	[15，20）	1

（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；
（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）用总人数乘以样本中候车时间少于10分钟的人数所占的比例，即为所求．
（Ⅱ）用1减去这三个人都不是第二组的人的概率，即得至少有一人来自第二组的概率．
（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）的值，可得X的分布列以及X的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数为 60×（

1

10

+

5

10

）=36（人）．
（Ⅱ）设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1-

C 3 5

C 3 10

=

11

12

．
（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）=

C 3 5 +C 3 3

C 3 10

=

11

120

，
P（X=2）=

(C 2 5 +C 2 3 )×2 +C 2 5 •C 1 3 +C 2 3 •C 1 5

C 3 10

=

71

120

，
 P（X=3）=

C 1 3 •C 1 5 ×2 +C 1 5 +C 1 3

C 3 10

=

38

120

，
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	11 120	71 120	38 120

∴EX=

11

120

+2

71

120

+3×

38

120

=

89

40

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列的定义和求法，求出随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于基础题．